Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, también pueden desfilar de 2 en 2, también de 3 en 3, así como de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y por supuesto en una sola fila de 30. Es decir, pueden desfilar de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las filas.a) ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 15 formas diferentes?, y,
b) ¿de 64 formas diferentes?
en filas con el mismo número de soldados.
Un número compuesto se descompone en sus factores primos de la siguiente forma.
ResponderEliminarN = A^m . B^n . C^r ; donde A, B y C son números primos
El número de divisores está dado por la fórmula:
Número de divisores = (m + 1)(n + 1)(r + 1)
Por ejm para entender el problema.
30=2x3x5. Donde A=2; B=3 ; C=5. Entonces el numero de divisores esta dado por la formula.
(1+1) (1+1) (1+1)
(2) (2) (2)=8
Con esta introducción comenzaremos la respuesta del problema.
Los datos que nos dan son el número de divisores y debemos encontrar el número al revés de cómo sacar el número de divisores que esta planteado arriba.
Entonces 15=5x3
=(4+1)(2+1) *los números 4y 2 son los exponentes de los números factores del numero que estamos buscando
Nos quedaría expresado de la siguiente manera
A^4xB^2 =N ; Donde A y B tienen que ser primos.
Como nos dicen que sea el menor numero que tenga 15 divisores debemos poner los menores números primos en A y B
De tal forma que nos quedara:
2^4x3^2=144….
Este seria el menor numero de soldados que se pueden formar de 15 formas diferentes.
Si me preguntan que si fuera al revés los números quedaría
3^4x2^2=324. Otro numero que contiene15 divisores pero no nos sirve porque estamos buscando el menor , pero como ya lo encontramos ahora vamos a buscar el numero que sea de 64 formas diferentes.
Seria hacer el mismo trabajo anterior.
En este caso hay que repartir bien los exponentes, ya que si no lo hacemos nos quedarían números muy grandes.
Comencemos:
64=4x4x2x2
(3+1)(3+1)(1+1)(1+1)
Entonces nos quedaría de la siguiente manera:
A^3xB^3xC^1xD^1=N
Reemplazamos por números primos. Y nos quedaría
2^3x3^3x5^1x7^1=7560
Ese seria el menor número de soldados para poder desfilar de 64 formas diferentes
El ejemplo descrito presenta que 30soldados pueden desfilar de 8 maneras diferentes. Estas maneras son la cantidad de divisores de
ResponderEliminar30, puesto que:
Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
La fórmula para calcular la cantidad de divisores de un número n es sumarle la unidad a cada exponente de la factorización prima y luego multiplicarlos entre sí. En este caso:
30=2x3x5
(1+1)x(1+1)x(1+1)=2^3=8
Ahora, como piden encontrar la menor cantidad de soldados que pueden desfilar de 15 formas diferentes, debemos buscar los números más pequeños que multiplicándose entre sí den 15. Estos son 3 y 5:
15=3x5
Pero como estos números están excedidos en 1 debemos restarle la unidad quedando 2 y 4, siendo estos los exponentes de la factorización. Como son el menor número de soldados, las bases deben ser los números primos más pequeños, siendo 2 y 3, y que a la vez deben acompañar a los exponentes 4 y 2 en forma inversa a su valor absoluto, puesto que nos daría un número muy grande si los distribuimos por azar, quedando:
2^4x3^2=144
Entonces, la mínima cantidad de soldados que desfilan de 15 formas distintas es 144.
Del mismo modo procedemos para calcular la mínima cantidad de soldados que pueden desfilar de 64 formas diferentes.
Los menores números que multiplicándose den 64 son:
4x4x2x2=64
Como los factores exceden en 1 a los exponentes de la factorización prima, las bases serán elevadas a
7. Los menores números primos son
2, 3 y 5, por lo que la cantidad de soldados sería:
2^3x3^3x5x7=7560
Por consiguiente, la mínima cantidad de soldados que se necesitan para desfilar de 64 formas diferentes son 7560.