17/8/08

Problema 3

En un triángulo ABC, con ángulo recto en B, se construyen los puntos E y F en la hipotenusa AC de tal manera que AE=AB y CF=CB.
¿Cuánto mide el ángulo EBF?

6 comentarios:

  1. Unknown7 de septiembre de 2008, 17:33

    Empezaré suponiendo que el
    ángulo BAC = a

    Relacionando ángulos con el triángulo ABC
    ángulo BCA = 90°-a

    Luego se observa que el triángulo ABE es isóceles de base BE, por lo tanto
    ABE = AEB = (180°- a)/2

    El triángulo CBF es isóceles de base BF, por lo tanto
    CBF = CFB = (180°-(90°- a))/2
    = (90°+ a)/2

    Para terminar se relacionan ángulos en el triángulo BEF y se obtiene
    EBF = 180°- AEB - CFB
    = 180°-(180°- a)/2 - (90°+ a)/2
    = (360°- 180°+ a - 90°- a)/2
    = 45°

    Entonces el ángulo EBF mide 45°

    Saludos a los que pasan por este blog.
    El problema anterior, el de los ladrillos, yo creo que debería hacerlo Manuel del LAM, jaja, para que no pierda la práctica.

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  2. Taller de Matemática.10 de septiembre de 2008, 21:47

    Bien resuelto el problema.

    Una extensión del problema:

    ¿Cuánto mide el angulo EBF, si el ángulo en B mide 110°?

    ¿y si la medida del ángulo en B es b°?

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  3. Anónimo13 de septiembre de 2008, 22:05

    Para el caso ángulo(B)=110° resulta:

    ángulo EBF mide 35°

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  4. Manuel Peña13 de septiembre de 2008, 22:19

    Para angulo de B= 110º

    Suponiendo que:
    El ángulo BCA = c
    El ángulo CAB = a
    El ángulo ABC = 110

    Tenemos

    c + a + 110 = 180
    c + a = 70

    Como el triangulo BFC es isosceles cuya base es BF, entonces tenemos que los angulos: FBC y BFC miden cada uno 90 - c/2

    Por lo tanto el angulo ABF mide:

    110-(90-c/2)
    =20+c/2


    Ahora me fijaré en el triángulo ABE, el cual es isósceles de base AB. Por lo tanto los ángulos BEA y ABE miden cada uno: 90 - a/2

    Por lo tanto EBC mide:

    110 -(90-a/2)
    =20 + a/2


    Teniendo todo lo anterior podemos decir que:

    ABF + BEF + EBC = 110

    Reemplazando valores, sería:

    (20 + c/2)+ BEF + (20 + a/2) = 110
    20 + c/2 + 20 + a/2 - 110= -BEF
    -70 + c/2 + a/2 = -BEF
    70 - c/2 - a/2 = BEF
    70-( c/2 + a/2) = BEF

    Como: c + a = 70
    Entonces ( c + a )/2 = 35
    Por lo tanto:

    70-(35)= BEF
    35 = BEF

    Entonces el ángulo BEF mide 35º si el ángulo ABC mide 110.

    PD: Oscar: Me proponia a publicar la solución del triangulo (previamente sacada en un cuaderno) pero me ganaste..jaja asi que me tuve que conformar con la 2º pregunta
    Saludos

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  5. Manuel Peña13 de septiembre de 2008, 22:58

    Para angulo en B = bº

    Supongamos que:

    a + b + c = 180
    a + c = 180 - b
    (a + c)/2= 90 - b/2


    Como ya mencioné en el post anterior, el triangulo el triangulo BFC es isosceles y su base es BF.
    Entonces tenemos que los angulos: FBC y BFC miden cada uno 90 - c/2


    También el triángulo ABE, es isósceles, y su base es AB.
    Por lo tanto los ángulos BEA y ABE miden cada uno: 90 - a/2

    Ahora me centraré en el triángulo FEB del cual conozco 2 ángulos: BEA y BFE (es el mismo que BFC porque E pertenece al segmento AC)

    Por lo tanto el angulo restante (que es EBF) se puede averiguar con la siguiente ecuación:

    BFE = 180 -(90 - c/2) - (90 - a/2)
    BFE = 180 - 90 - 90 + c/2 + a/2
    BFE = c/2 + a/2

    Reeplazando estos valores por los del principio de de la solución da:

    BFE = (a +c)/2
    BFE = 90 - b/2

    Entonces el ángulo EBF mide:

    90 - b/2

    Saludos

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  6. Taller de Matemática.14 de septiembre de 2008, 13:55

    Manu:
    Bien la demostración del caso general.
    Consulta: ¿El problema tiene siempre solución, para cualquier medida b del ángulo B?
    Saludos

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