El marco de un reloj de mesa tiene la forma de un trapecio isóscele ABCD, en el cual se encuentra inscrita la "esfera" del reloj mismo de 6cm de radio, con las divisiones propias de un reloj. Se constata que, cuando las agujas indican las 2 horas, ellas están dirigidas hacia los puntos de contacto entre la "esfera" y el trapecio.
Hallar las longitudes de las bases AB y CD del trapecio.
Aquí usaré plano cartesiano.
ResponderEliminarLa circunferencia será: x(cuadrado) + y (cuadrado) = 36
AB será: y = radio, es decir, y = 6
El horero y minutero hacen un ángulo de 60°, y el complemento es 30°, por tanto el horero será: y = x (tan30°)
BC será: y = - x (tan60°) + n
Para calcular n, tenemos que el reloj, el horero y BC intersectan en el mismo punto.
Y(cuadrado) = 36 – x(cuadrado) ; y(cuadrado) = (x tan30°)(cuadrado)
x= 3 (raiz de 3) ; y = 3
Reemplazamos los valores en BC: 3 = - 9 + n ; n= 12
Sabiendo n podemos sacar la intersección de AB y BC, cuyo valor en x será la mitad de AB.
-X(tan60°) + n = 6 ; x = 6/ tan60° ; AB será 12/ tan60° y CD = AB + 4/3 (raiz de 3)(radio)
AB = 12/ tan60° ; CD = 4 ( 3/tan60 + 2 raiz de 3)… aprox:
AB= 6,93 cm y CD= 20,78 cm
Bien la solución de Mario P.
ResponderEliminar¿Cómo resolver el problema usando relaciones y/o proposiciones de Geometria euclidiana?.
Se puede resolver usando propiedades de "tangentes a una circunferencia, trazadas desde un punto".
1) Sean:
M= punto de tangencia de la circunf. con el trapecio, M en AB. Luego, M=punto medio de AB.
N=punto de tangencia de la circunf con el trapecio, N ubicado en el lado BC.
P=punto medio de CD
= punto de tangencia de la circ con el trapecio.
O=centro de la circ.
Como BM y BN son segmentos de tangentes a la circunf. trazados desde B, luego: BM=BN=a
3) Con un argumento similar de (2): CN=CP=b
4) Triangulo MOB es rectangulo en M, y ángulo MOB=30°.
Luego: MB=a; OB=2a
Como OM=6, usando el T. de Pitagoras se obtiene:
a²+36=(2a)².
Por lo tanto: a=raizc(12)
etc. ...