En la inauguración de un torneo de fútbol, de clubes deportivos de nuestra región, los capitanes de equipo intercambiaron banderines y se estrecharon la mano.Un espectador advirtió que la diferencia entre el numero de banderines intercambiados y el número de apretones de manos fue 120.
¿Cuántos clubes participaron?
Denotare por x al numero de banderines intercambiados, que corresponden al numero de equipos.
ResponderEliminarEl numero de apretones equivale a:
(x-1)+(x-2)+...+1+0
Ya que el primer capitan le da la mano a todos los capitanes menos a el mismo,luego el segundo capitan le da la mano a todos menos a el mismo y al primer capitan; y asi sucesivamente se va descontando 1 apreton de mano por cada capitan hasta llegar al ultimo capitan al cual todos le han dado la mano por lo cual no da mas apretones de manos.
Por lo tanto tenemos
{(x-1)+(x-2)+...+1+0}- x = 120
De otra forma usando la ecuacion de sumatoria{n(n+1)/2}.
Donde
n = (x-1) ya que (-1)+ 0 = x-1
Se expresa:
{(x-1)*x}/2 - x = 120
x^2 - x - 2x = 240
x^2 -3x =240
Usando la ecuación cuadratica (ax^2+bx+c=0)los valores serían:
a=1
b=-3
c=-240
La ecuacion desarrollada
x = {-b±√(b^2 – 4ac)}/2a
x = {3 ±√(9 + 460)}/2
x = {3 ±√(469)}/2
x1 = {3 + 31.12}/2
x1 = {34.12}/2
x1 = 17.06
x2 = {3 - 31.12}/2
x2 = {-28.12}/2
x2 = -14.06
Como ningun resultado puede ser cierto ya que cuando se expresa a personas los numeros no pueden ser ni negativos ni decimales.
Entonces creo que tal vez la diferencia entre el numero de banderines intercambiados y el número de apretones de manos fue 119 ya que:
1 jugador = 0 apretones de manos
2 jugadores = 1 apretones de manos
3 jugadores = 3 apretones de manos
4 jugadores = 6 apretones de manos
5 jugadores = 10 apretones de manos
6 jugadores = 15 apretones de manos
7 jugadores = 21 apretones de manos
8 jugadores = 28 apretones de manos
9 jugadores = 36 apretones de manos
10jugadores = 45 apretones de manos
11jugadores = 55 apretones de manos
12jugadores = 66 apretones de manos
13jugadores = 78 apretones de manos
14jugadores = 91 apretones de manos
15jugadores = 105apretones de manos
16jugadores = 120apretones de manos
17jugadores = 136apretones de manos
Y como 136 es el primer numero sobre 120 que resulta de la sumatoria de apretones de manos daremos el valor de 17 a x ¿que representa a los jugadores.
Y aplicaremos la ecuacion anteriormente expuesta:
{(x-1)*x}/2 - x =
{16*17}/2 - 17 =
{272}/2 - 17 =
136 - 17 = 119
Por lo tanto creo que 119 tal vez sea la diferencia entre apretones de manos y numero de bandeines intecambiados, ya que es el numero que mas se acerca a dar un numero entero como resultado(debe ser numero entero positivo ya que trta de personas).
Por lo tanto puedo concluir que en un campeonato con 17 equipos la diferencia entre el numero de banderines intercambiados y el número de apretones de manos fue 119.
PD: la verdad no se si estoy en lo correcto..espero que haya quedado claro
Respecto del problema planteado, quiero expresar el comentario siguiente:
ResponderEliminarI) Es poco probable que el acto inaugural se produzcan todos los intercambios de banderines y los correspondientes apretones de manos entre los capitanes.
II) Aclarado lo anterior doy por supuesto que todos los equipos se enfrentan entre si por lo que el número de apretones de manos equivale al número de partidos. Llamemos p al número de partidos.
III)En cada partido se intercambian dos banderines, por lo tanto el número de banderines es el doble del de partidos. Llamemos b al número de banderines.
IV) Es posible entonces plantear el siguiente sistema de ecuaciones :
b = 2p
b-p = 120
Claramente el número de partidos es 120.
V)Sea n el número de equipos participando. Puesto que para generar un partido se requieren dos equipos, el total de partidos está dado por:
nC2 (combinación de n elementos tomados de a dos)
VI) Se resuelve la ecuación nC2=120, es decir:
n(n-1)/2 = 120 o n^2-n-240=0 cuya solución positiva es 16.
VII) En el campeonato intervinieron 16 equipos, se intercambiaron 240 banderines y hubo 120 apretones de mano.
Otra manera de razonar el problema.
ResponderEliminarSea x el numero de equipos (o de clubes).
Luego:
N° de banderines intercambiados:
x(x-1)
N° de apretones de mano:
x(x-1)/2
Ecuacion:
x(x-1)-x(x-1)/2=120
Equivalente a:
x(x-1)/2=120
Resolviendo la ecuacion resulta:
x=16
Luego, la cantidad de clubes que participaron en el torneo es 16.