Hay 6 canastos con peras, ciruelas y manzanas y no necesariamente todos llevan igual cantidad de fruta. La cantidad de ciruelas en cada canasto es igual a la cantidad total de manzanas, en conjunto, de los otros 5 canastos. La cantidad de manzanas en cada canasto es igual a la cantidad total de peras, en conjunto, de los otros 5 canastos.Demostrar que la cantidad total de frutas es múltiplo de 31.
[Problema OMA]
Sean a_n los canastos, con n=1,2,3,4,5,6. Sean x_j, y_j, z_j, las ciruelas, manzanas y peras, respectivamente, de la canasta a_j, también definimos los totales de frutas respectivas como Sx, Sy, Sz. Por el enunciado se tiene que:
ResponderEliminarx_j=Sy-y_j => x_j+y_j=Sy (1)
y_j=Sz-z_j => y_j+z_j=Sz (2)
Si sumamos todas las ecuaciones que se obtienen en (1) al variar j del 1 al 6 es claro que:
Sx+Sy=6Sy => Sx=5Sy (3)
Análogamente en (2)
Sy+Sz=6Sz => Sy=5Sz (3)
Como queremos el valor de S=Sx+Sy+Sz (5), entonces reemplazando (3) y (4) en (5):
S=25Sz+5Sz+Sz=31Sz
Como Sz es entero, se sigue que 31 divide a S, por lo que S es múltiplo de 31, como queríamos.
La solucion que dare es como la anterior, pero igual la escribo.
ResponderEliminarSean
m1, m2, ....,m6 la cantidad de manzanas en cada canasto 1,2,3,4,5,6.
c1,c2,...,c6 la cantidad de ciruelas en cada canasto 1,2,...6
p1,p2,...,p6 la cantidad de peras en cada canasto 1,2,...6
Dato 1
c1= m2+m3+m4+m5+m6
c2=m1+ m3+m4+m5+m6
c3=m1+m2+ m4+m5+m6
c4=m1+m2+m3+m5+m6
c5=m1+m2+m3+m4+ m6
c6=m1+m2+m3+m4+m5
Sumando tengo
c=5m, donde c=total ciruelas, m=toral manzanas
Dato2
m1= p2+p3+p4+p5+p6
m2=p1+ p3+p4+p5+p6
m3=p1+p2+p4+p5+p6
m4= ....
m5=....
m6=.....
Sumando tengo
m=5p ,donde p=total peras
c=5m=5(5p)=25p
m=5p
p=p
Sumando tengo en total de frutas
c+m+p=25p+5p+p
c+m+p=31p cantidad que es multiplo de 31