A cada número entero positivo n, n ≤ 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras.
¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible?
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- Taller de Matemática.
- En este espacio se presentará, periódicamente un problema, con el proposito de compartir diversas estrategias de resolución. Se invita a todos los participantes en los talleres, compartir propuestas de resolución, observaciones, etc. a través de este blog.
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2015
(16)
- ► septiembre (4)
Para n=50
ResponderEliminarSea ab un número de 2 cifras, con a la cifra de las decenas y b la cifra de las unidades, se sigue que lo pedido es igual a 10a+b-(a^2+b^2)=a(10-a)+b(1-b). Como queremos el máximo de la expresión, y como se tiene una suma, es directo que cada sumando debe ser el máximo, el máximo de a(10-a) es 25 y se logra para a=5 y el máximo de b(1-b) es 1 y se logra para b=0. Con esto n=50. El máximo se puede calcular fácilmente verificando el vértice de la función cuadrática .
ResponderEliminarPor otro lado, es trivial verificar casos en que n tenga una cifra, pues el cuadrado de sus cifras será siempre mayor o igual que n.
Bien. Faltó un caso, para b=1 tambien se obtiene un valor máximo de b(b-1).
EliminarLuego, para n=50, n=51, se obtiene la mayor diferencia posible.
me salté ese caso, porque como pedían la mayor diferencia, era directo que b=0.
EliminarEl problema tiene dos soluciones n=50, n=51 ya que
ResponderEliminar50+(25+0)=25
51-(25+1)=25
Nota: Con las notaciones de las respuestas anteriores, el valor maximo de b(1-b) se obtiene tanto para b=0 como para b=1 (no es el vertice).