Un coronel tiene a su mando 4509 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda cuatro, la tercera siete, la cuarta diez soldados, etc.a) ¿Cuántas filas se debería formar?
b) ¿Cuántos soldados habría en las dos últimas filas?
Es un problema bastante complejo, ya que se debe encontrar ciertas ecuaciones que permitan el calculo de distintas secuencias.
ResponderEliminarrespondiendo a las preguntas
a) Se deberían formar 55 filas pero la fila numero 55 tiene un soldado menos de los que debería tener.
b) La penúltima fila tendría 160 soldados y la ultima 162 debido a que falta un soldado.
Ahora mostrare el procedimiento al que recurrí para la resolución del problema.
Para esto use tres variables:
"n" = N° de la fila
"S" = N° total de soldados formados hasta la fila "n".
"X" = N° de soldados de la fila "n"
(ténganlos en cuenta ya que los ocupare mas tarde en una ecuación)
como dice el ejercicio " primera fila tenga un soldado, la segunda cuatro, la tercera siete, la cuarta diez soldados, etc."
-En la fila 1 tendremos 1 soldado por lo tanto 1 soldado en total formado
-En la fila 2 tendremos 4 soldados por lo tanto en total habrán 5 soldados (sumando el de la fila anterior)
--En la fila 3 tendremos 7 soldados por lo tanto en total habrán 12 soldados(1+4+7)
-En la fila 4 tendremos 10 soldados por lo tanto en total habrán 22 soldados (1+4+7+10)
-Así sucesivamente...
Nosotros ya conocemos el "S" que es 4509, esa es la cantidad de soldados que tenemos a disposición.
Con esto calcularemos el "n" que es lo que queremos conocer.
Ahora ocuparemos una ecuación planteada por mi. Que es:
n(n+1)/2 + n(n-1) = S
-Remplazamos en la ecuación:
n(n+1)/2 + n(n-1) = 4509
Quedara la ecuación cuadrática:
n^2+n+2n^2-2n-9018 = 0
Pero al resolverla nos daremos cuenta que en el discriminante nos quedara un numero que no tiene raíz exacta.
por lo que el S = 4509, no nos sirve
Así que usare un numero que si de raíz exacta en el discriminante y que no se aleje de el 4509
El 4510
ahora remplazamos con el S = 4510
y quedara
n(n+1)/2 + n(n-1) = 4510
Resolvemos:
n(n+1)/2 + n(n-1) = 4510
n^2+n/2 + n^2-n = 4510 /2
n^2+n + 2n^2-2n = 9020
Ahora ordenamos para una ec. cuadrática
n^2+n + 2n^2-2n - 9020 = 0
3n^2 - n - 9020 = 0
y ocupamos la ecuación general
n = 1 ± v1+108240 /6
n = 1 ± v108241 /6
n = 1 ± 329 / 6
n1 = 1 + 329 /6
n1 = 330 /6
n1 = 55
(no calculare el n2 porque quedara negativo el resultado y no nos servirá)
Bueno n1 = 55 ese es el N° de filas que se deberían formar con 4510 soldados, pero, recordar que solo tenemos 4509, a pesar de eso igual se forman 55 filas, solo que con un soldado menos
Ya respondí la pregunta A
Ahora la B:
-Como ya dije "X" es el N° de soldados de la fila "n"
Para este también formule una ecuación, la cual es:
3n-2 = X
ahora reemplazamos el "n" en la ecuación para conocer el N! de soldados de la ultima fila
3*55-2 = X
165 -2 = X
163 = X
-Hay que tener presente que en la fila 55 deberían haber 4510 soldados en total, pero solo tenemos 4509.
Así que al "X" se le resta 1
Por lo que el X de la fila 55 es 162
y el de la penúltima fila (54) se calcula de la misma manera
3*54-2 = X
162-2 = X
160 = X
En la fila 54 hay 160 soldados formados.
con esto respondo a la pregunta B
Ultima fila : 162 soldados
Penúltima fila : 160 soldados
con esto concluyo mi respuesta
espero respuesta
Cristian Maureira Colegio San Jose Parral